Anillos de Valuación

En este espacio describiremos la manera de obtener una valuacion a partir de un anillo de valuacion y viceversa.

Se obtendrá una relacion de sub espacio (grupo abeliano ordenado, campo, grupo de unidades, maximales) dada una extension de campos.

Damos la definicion de campo valuado.

Notación:

• Si $A$ es un anillo, denotamos $A^\neq:=A\setminus \{ 0 \}$ y $A^*:=\{ unidades\ de\ A \}$
  

Definición1 (Grupo abeliano valuado) referencia de la notación

Un grupo abeliano valuado es una terna $( G, S_\infty , v )$ donde $G$ es un grupo abeliano, $S$ es un conjunto con orden total y $v:G \longrightarrow S_\infty$ es una función que cumple:

1. $v(0)=\infty$
2. $v(x)=v(-x)$ para todo $x\in G\setminus \{ 0 \}$
3. $v(x+y)\geq min \{ v(x), v(y) \}$

Definición2 (Dominio entero valuado)

Un dominio entero valuado es una terna $( A, \Gamma , v )$ donde $A$ es un dominio entero, $\Gamma$ es un grupo abeliano ordenado y $v:A^{\neq} \longrightarrow \Gamma$ es una función que cumple:

1. $v(xy)=v(x)+v(y)$
   
2. $v(x+y)\geq min \{ v(x),v(y) \}$

Observemos que si $x,y\neq 0$, entonces $v(xy)=v(x)+v(y)$ $\Longrightarrow$ $v(x)=v(-x)$, por lo cual para que un dominio entero valuado sea un grupo abeliano valuado basta definir $v(0):=\infty$.