Valuaciones convexas y clases Arquimedianas

Valuaciones convexas y clases Arquimedianas

Dado un grupo abeliano ordenado $(G,S_{\infty},\leq _{G})$ construiremos una valuación $v:G \longrightarrow S_\infty$ que sea convexa con $\leq _{G}$. Con esta construcción tomamos $S_{\infty}:=[G]$ el conjunto de clases Arquimedianas de $G$. De esta manera al tomar cualquier subgrupo convexo $H < G$ se puede inducir un orden en $G/H$ mediante las clases arquimedianas de $G$ y por lo tanto de manera recursiva podemos construir una valuación convexa $v':G/H \longrightarrow [G/H]$. Principalmente este escrito está enfocado en dar ejemplos de valuaciones convexas -$\textit{no tan triviales}$- sobre grupos abelianos ordenados.

PRELIMINARES

Notación:

• $(G,+)$ es un grupo abeliano, por simplicidad escribiremos $G$.
• $(S, \leq  _S)$ es un conjunto totalmente ordenado, por simplicidad escribiremos $S$.
• $S_\infty := S\cup \{\infty\}$ tal que $\forall s\in S$ se tiene $s<\infty$.
• Para $a \in G$ y $n\in \mathbb{N}$ definimos $na:= \overbrace{a+a+\cdots+a+a}^{n-veces}$.
• Si $\sim$ es una relación de equivalencia, denotamos por $G/ \sim$ su conjunto de clases de equivalencia.
• Si A es un conjunto, denotamos su cardinalidad por #A.

Definición (Grupo abeliano valuado) 
Un grupo abeliano valuado es un a terna $(G,S_{\infty},v)$ donde $v:G\longrightarrow S_{\infty}$ es una función sobreyectiva tal que: 

1. $v(0)=\infty$
2. $v(x)=v(-x)$ $\forall x\in G\setminus \{0\}$ 
3. $v(x+y)\geq min\{v(x),v(y)\}$ $\forall x,y\in G$

Esta valuación en grupos encaja con la definición de valuación cuando se extiende a un campo.

Un ejemplo de grupo abeliano valuado es $(\mathbb{R} [x],\mathbb{N}\cup \{\infty\},v)$ donde la valuación está definida de la siguiente manera; 

si $f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$, entonces $v(f(x))=min\{ i : a_i\neq 0 \}$

Así $v(3x^2+4x^5+11x^9)=2$.
Los conjuntos $B(s):=\{g\in G : v(g)>s\}$ y $\overline{B}(s):=\{g\in G : v(g)\geq s\}$ son subgrupos de $G$.

Definición (Grupo abeliano ordenado) 
Un grupo abeliano ordenado es un par $(G,\leq _G)$ donde $\leq_G$ es un orden total que es compatible con $+$, es decir, $\forall x,y,z \in G$ :

$x\leq y \Longrightarrow  x+z\leq y+z$

Un ejemplo de grupo abeliano ordenado es $(\mathbb{R} [x],\leq)$ donde dicho orden se define como:

• Sean $f(x)=\sum_{i\in I} a_i x^i$ y $g(x)=\sum_{j\in J} b_j x^j$ con $I,J\subset \mathbb{N}\cup \{0\}$ finitos.
• Definimos $K=I\cup J$, entonces hacemos $a_k=0$ si $k\in J\setminus I$ y $b_k=0$ si $k\in I\setminus J$. 
• Sea $m=max\{ k\in K: a_k\neq b_k \}$,  
• Decimos que $f(x)\leq g(x) \Leftrightarrow a_m\leq b_m$.

 Así  $3x^2+$4$x^5+11x^9 \leq 3x^2+$7$x^5+11x^9$.

VALUACIONES CONVEXAS

Definición (Conjunto convexo)
Sea un $(S,<_S)$ un conjunto parcialmente ordenado y $A\subset S$, decimos que $A$ es convexo si $\forall a_1,a_2\in A$ y $a_1<c<a_2 \Longrightarrow c\in A$.

Por ejemplo en $\mathbb{R}$ con el orden usual, $\mathbb{Q}$ no es convexo y $(0,1)$ si lo es.

Definición (Valuación convexa)
Sea $(G,\leq _G)$ un grupo abeliano ordenado, decimos que una valuación $v:G\longrightarrow S_\infty $ es convexa o compatible con $\leq _G$ si:

$0<a<b \Longrightarrow v(a)\geq v(b)$

Observación

Dadas las condiciones de la definición anterior, las siguientes condiciones son equivalentes: 

1. $0<a<b \Longrightarrow v(a)\geq v(b)$
2. $\forall s\in S$, $B(s)$ es convexo.
3. $\forall s\in S$, $\overline{B}(s)$ es convexo.

CLASES ARQUIMEDIANAS

Sea $(G,\leq _G)$ un grupo abeliano ordenado, definimos el valor absoluto de $a\in G$ como:

$|a|=max\{ a, -a \}$

Establecemos en $G$ la relación -la cual es de quivalencia- siguiente:

 $a\sim b \Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N}$ tal que $|a|\leq _G n|b|$ y $|b|\leq _G n|a|$

Definimos el conjunto de clases Arquimedianas de $G$ como $[G]:=G/ \sim$ y a cada clase por $[a]$ con $a\in G$.

Equipamos a $[G]$ de un orden total $\leq _{\mathcal{A}}$ definido como:

$[a]<_{\mathcal{A}}[b] \Leftrightarrow n|a| < _G |b|$ $\forall n\in \mathbb{N}$

$[a]\leq _{\mathcal{A}}[b] $ si además $ \exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $|a|\leq _G n_0|b|$

Se verifica que $\leq _\mathcal{A}$ está bien definido y es lineal. Además para todo $a\in G\setminus\{0\} $ se tiene la desigualdad $[0]<_\mathcal{A}[a]$.

Si consideramos el orden reverso $\leq _{\mathcal{A}_{rev}}$, entonces $[0]$ es máximo elemento en $([G],\leq _{\mathcal{A}_{rev}})$ por lo que denotamos $\infty :=[0]$.

Recapitulando; hemos tomado un grupo abeliano ordenado $G$ y hemos conseguido un conjunto totalmente ordenado $([G],\leq _{\mathcal{A}_{rev}})$, por lo cual tenemos un mapeo natural:

$v_{\leq _G}:G\longrightarrow [G]$ definido por $a\mapsto [a]$

La función $v_{\leq _G}$ es una valuación convexa con $\leq _G$.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Consideremos $(\mathbb{Z},\leq)$ el grupo abeliano ordenado con la suma y ordenes usuales.
Las clases Arquimedianas son:

$[\mathbb{Z}]=\{ [0], [1] \}$

El orden en $[\mathbb{Z}]$:

$[1]< _{\mathcal{A}_{rev} } [0]$

define la función $v:\mathbb{Z}\longrightarrow [\mathbb{Z}]$:

$v(k)=[k]$, por ejemplo $v(1)=v(3)=v(-3)=[1]$

Es inmediato que $v$ cumple las condiciones para ser una valuación de grupos abelianos:

1. $v(0)=\infty$ (definimos el punto $\infty :=[0]$).
2. $v(x)=v(-x)$
3. $v(x+y)\geq min\{ v(x),v(y) \}$

y además $v$ es convexa, pues $0<a<b \Longrightarrow [a]\geq [b]$ (de hecho se tiene la igualdad), o lo que es equivalente $B([1])=\{ 0 \}$ y $\overline{B}([1])=\mathbb{Z}$ son convexos con el orden usual en $\mathbb{Z}$.

EJEMPLO 2

Consideremos $(\mathbb{Z}^2,\leq _{lex})$ grupo abeliano ordenado con la suma usual y el orden lexicográfico; $(a,b)\leq _{lex} (c,d) \Leftrightarrow a<c$  ó  $a=c $ y $ b\leq d$. Para simplificar la notación denotaremos a $\leq _{lex}$ por $\leq$.
Las clases Arquimedianas son:

$[\mathbb{Z}^2]=\{ [(0,0)], [(0,1)],[(1,0)] \}$

El orden en $[\mathbb{Z}^2]$:

$[(1,0)]<_{\mathcal{A}_{rev}}[(0,1)]<_{\mathcal{A}_{rev}}[(0,0)]$

define la valuación convexa $v\left( (a,b) \right)= [(a,b)]$.
Los conjuntos:

$B([1,0])=$puntos con coordenadas enteras en el eje y

$\overline{B}([1,0])=\mathbb{Z}^2$

$B([0,1])=\{(0,0)\}$

$\overline{B}([0,1])=B([1,0])$
son convexos
  

EJEMPLO 3

Dado el grupo abeliano ordenado $(\mathbb{R},\leq)$ dado en la sección PRELIMINARES, sus clases Arquimedianas quedan ordenadas como sigue:

$\cdots <_{\mathcal{A}_{rev}} [x^3]<_{\mathcal{A}_{rev}} [x^2]<_{\mathcal{A}_{rev}} [x]<_{\mathcal{A}_{rev}} [1]<_{\mathcal{A}_{rev}} [0]$

donde $[x^n]$ son todos los polinomios de grado $n$.Como ejercicio se puede obtener la relación que juegan la valuación conexa que se construye y la valuación dada en PRELIMINARES.